不等式的定义

时间:2024-02-25 13:44:17编辑:优化君

什么叫做不等式

不等式是数学中表示两个数或两个量大小关系的符号组合。通常用大于号(>)、小于号( 1 表示2大于1。不等式在数学中应用广泛,可以用于解决各种问题,如求解方程、证明定理、优化问题等。举例来说,假设有两个数a和b,其中a大于b。那么可以用数学符号表示为a > b。同样地,如果a小于等于b,则可以表示为a ≤ b。不等式在代数、几何、概率等数学分支中都有应用。例如在代数中,不等式可以用于解决方程组,如线性规划问题;在几何中,不等式可以用于证明三角形不等式等问题;在概率中,不等式可以用于推导概率分布等问题。总之,不等式是数学中表示两个数或两个量大小关系的符号组合,应用广泛,可以用于解决各种问题。

什么是不等式

用符号“>”“<”表示大小关系的式子,叫作不等式。用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。[1]通常不等式中的数是实数,字母也代表实数,不等式的一般形式为F(x,y,……,z)≤G(x,y,……,z )(其中不等号也可以为 中某一个),两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域,不等式既可以表达一个命题,也可以表示一个问题。一般地,用纯粹的大于号“>”、小于号“<”表示大小关系的式子,叫作不等式。用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。[1]其中,两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域。整式不等式:整式不等式两边都是整式(即未知数不在分母上)。一元一次不等式:含有一个未知数(即一元),并且未知数的次数是1次(即一次)的不等式。如3-x>0同理,二元一次不等式:含有两个未知数(即二元),并且未知数的次数是1次(即一次)的不等式。 [2]①如果x>y,那么yy;(对称性)②如果x>y,y>z;那么x>z;(传递性)③如果x>y,而z为任意实数或整式,那么x+z>y+z;(加法原则,或叫同向不等式可加性)④ 如果x>y,z>0,那么xz>yz;如果x>y,z<0,那么xz<yz; [1] (乘法原则)⑤如果x>y,m>n,那么x+m>y+n;(充分不必要条件)⑥如果x>y>0,m>n>0,那么xm>yn;⑦如果x>y>0,xn>yn(n为正数),xn<yn(n为负数);或者说,不等式的基本性质的另一种表达方式有:①对称性;②传递性;③加法单调性,即同向不等式可加性;④乘法单调性;⑤同向正值不等式可乘性;⑥正值不等式可乘方;⑦正值不等式可开方;⑧倒数法则。如果由不等式的基本性质出发,通过逻辑推理,可以论证大量的初等不等式。另,不等式的特殊性质有以下三种:①不等式性质1:不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子),不等号的方向不变;②不等式性质2:不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;③不等式性质3:不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数,不等号的方向变。 总结:当两个正数的积为定值时,它们的和有最小值;当两个正数的和为定值时,它们的积有最大值。 [2] 常用定理

不等式概念的两个特征

掌握不等式的性质及其证明,能正确使用这些概念解决一些简单问题 知识点归纳 1.实数的大小顺序与运算性质之间的关系: 2.不等式的性质:(1) , (反对称性)(2) , (传递性)(3) ,故 (移项法则)推论: (同向不等式相加)(4) , 推论1: 推论2: 推论3: 不等式的性质是解、证不等式的基础,对于这些性质,关键是正确理解和熟练运用,要弄清每一个条件和结论,学会对不等式进行条件的放宽和加强 题型讲解 例1 已知三个不等式:①ab>0 ②bc>ad ③ > ,以其中两个作为条件,余下一个作为结论,则可以组成多少个正确的命题?并写出这些命题 解:可以组成下列3个命题 命题一:若ab>0, > , 则bc>ad 命题二:若ab>0,bc>ad 则 > ,命题三:若 > , bc>ad 则ab>0由不等式的性质得知这三个命题均为真命题例2有三个条件:(1)ac2>bc2;(2) > ;(3)a2>b2,其中能分别成为a>b的充分条件的个数有( )A.0 B.1 C.2 D.3解:(1)由ac2>bc2可知c2>0,即a>b,故ac2>bc2是a>b的充分条件 (2)cb的充分必要条件,故答案选B 例3 若a>b>1,P= , Q= (lg a +lg b ),R=lg( ),试比较P ,Q, R的大小 解:∵a>b>1,∴lg a> lg b>0,∴ < ,即P<Q 又∵ < ,∴ < lg( ),∴ < lg( ),即Q<R ,P< Q<R 例4 设f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1) ≤2, 2≤f(1) ≤4 ,求f(-2)的取值范围 分析:因为f(-1)=a-b, f(1)=a+b,而1≤a-b≤2, 2≤a+b≤4;又a+b与a-b中的a,b不是独立的,而是相互制约的,因此,若将f(-2)用a-b与a+b,表示,则问题得解 解:设f(-2)=m f(-1)+n f(1), (m,n为代定系数) 则4a-2b=m(a-b)+n(a+b) 即4a-2b=(m+n)a-(m-n)b, 于是得 得:m=3, n=1 ∴f(-2)=3 f(-1)+ f(1) ∵1≤f(-1) ≤2, 2≤f(1) ≤4 ∴5≤3f(-1)+ f(1) ≤10, 故5≤f(-2)≤10,另法:以上解题过程简化如下:由 得 ∴f(-2)=4a-2b=3 f(-1)+ f(1)点评:严格依据不等式的基本性质和运算法则,是正确解答此类题目的保证 若先将参数a,b的范围求出,而后再求f(-2)的范围,这样操作是错误的,因为解题过程没有忠实题目所给条件,即变形不等价,由所求的参数a,b的范围并不能得到已知条件所给的f(-1)及f(1)的范围,这样,已经改变了题目的条件,当然,所求的结果就不是实际的结果 因此,在解题的过程中,务必尽可能保持变形的等价性,以免发生错误 例5已知a>b>c,a+b+c=0 方程ax2+bx+c=0的两个实根为x1,x2(1) 证明:- ;(2) 若x12+x1x2+x22=1,求x12-x1x2+x22(3) 求 解:(1) a>b>c,a+b+c=0, ∴ , ∴a>0,1> ∴ (2)(方法1) a+b+c=0 ∴ ax2+bx+c=0有一根为1,不妨设x1=1,则由x12+x1x2+x22=1可得x2(x2+1)=0,而x2=x1x2= <0(3c<a+b+c=0),∴ x2=-1∴x12-x1x2+x22=3(方法2) x1+x2=- ,x1x2= 由x12+x1x2+x22=(x1+x2)2- x1x2= =1, ∴ ∴x12-x1x2+x22= x12+x1x2+x22-2x1x2=1-2x1x2=1+ (3)由(2)知, = ∴- ∴ 小结:在不等式的性质中,要特别注意下面4点: 1 不等式的传递性:若a>b,b>c, 则a>c,这是放缩法的依据,在运用传递性时,要注意不等式的方向,否则易产生这样的错误:为证明a>c,选择中间量b,在证出a>b,c>b,后,就误认为能得到a>c 2 同向不等式可相加但不能相减,即由a>b,c>d,可以得出a+c>b+d, 但不能得a—c>b—d 3 不等式两边同时乘以一个数或式时,只有该数或式保证为正,才能得到同向的不等式,否则不能保证所乘之数或式为正,则不等式两边同时乘以该数或式后不能确定不等式的方向;不等式两边同偶次乘方时,也要特别注意不等式的两边必须是正 总之,不等式的概念和性质是本章内容的基础,是证明不等式和解不等式的主要依据,必须透彻理解,特别要注意同向不等式可相加,也可相乘,但相乘时,两个不等式都需大于零 处理分式不等式时不要随便将不等式两边乘以含有字母的分式,如果需要去分母,一定要考虑所乘的代数式的正负 作差法是证明不等式的最基本也是很重要的方法,应引起高度注意


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