求奥赛题
2001年全国初中数学联赛
一、选择题（每小题7分，共42分）
1、a，b，c为有理数，且等式 成立，则2a+999b+1001c的值是（ ）
（A） 1999（B）2000（C）2001（D）不能确定
2、若 ，且有5a2+2001a+9=0及 ，则 的值是（ ）
（A） （B） （C） （D）
3、已知在△ABC中，∠ACB=900，∠ABC=150，BC=1，则AC的长为（ ）
（A） （B） （C） （D）
4、如图，在△ABC中，D是边AC上的一点，下面四种情况中，△ABD∽△ACB不一定成立的情况是（ ）
（A） （B）
（C）∠ABD=∠ACB （D）
5、①在实数范围内，一元二次方程 的根为 ；②在△ABC中，若 ，则△ABC是锐角三角形；③在△ABC和 中，a，b，c分别为△ABC的三边， 分别为 的三边，若 ，则△ABC的面积S大于 的面积 。以上三个命题中，假命题的个数是（ ）
（A）0（B）1（C）2（D）3
6、某商场对顾客实行优惠，规定：①如一次购物不超过200元，则不予折扣；②如一次购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠。某人两次去购物，分别付款168元和423元；如果他只去一次购物同样的商品，则应付款是（ ）
（A）522.8元（B）510.4元（C）560.4元（D）472.8
二、填空题（每小题7分，共28分）
1、已知点P在直角坐标系中的坐标为（0，1），O为坐标原点，∠QPO=1500，且P到Q的距离为2，则Q的坐标为 。
2、已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P，则点P到两圆外公切线的距离为 。
3、已知 是正整数，并且 ，则 = 。
4、一个正整数，若分别加上100和168，则可得到两个完全平方数，这个正整数为 。
三、 解答题（共70分）
1、在直角坐标系中有三点A（0，1），B（1，3），C（2，6）；已知直线 上横坐标为0、1、2的点分别为D、E、F。试求 的值使得AD2+BE2+CF2达到最大值。（20分）
（1） 证明：若 取任意整数时，二次函数 总取整数值，那么 都是整数；
（2）写出上述命题的逆命题，并判断真假，且证明你的结论。（25分）
3、如图，D，E是△ABC边BC上的两点，F是BC延长线上的一点，∠DAE=∠CAF。（1）判断△ABD的外接圆与△AEC的外接圆的位置关系，并证明你的结论；（2）若△ABD的外接圆的半径的2倍，BC=6，AB=4，求BE的长。
解答题：
1、 如图，EFGH是正方形ABCD的内接四边形，两条对角线EG和FH所夹的锐
角为θ，且∠BEG与∠CFH都是锐角。已知EG=k，FH= ，四边形EFGH的面积为S。
（1）求证：sinθ= ；
（2）试用 来表示正方形的面积。
2、 求所有的正整数a，b，c，使得关于x的方程 ， ，
的所有的根都是正整数。
3、在锐角△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，DE⊥AC，E为垂足，DF⊥AB，F为垂足。O为△ABC的外心。
求证：（1）△AEF∽△ABC；
（2）AO⊥EF
4、如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，直线 平行于BD，且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P。
求证：PM PN＝PR PS
2002年全国初中数学联合竞赛试卷
（2002年4月21日8：30—10：30）
一、选择题（本题42分，每小题7分）
1、已知a= -1，b=2 - ，c= -2，那么a，b，c的大小关系是（ ）
(A) a<b<c (B) b<a<c (C) c<b<a (D)c<a<b
2、若m2=n+2，n2=m+2(m≠n)，则m3-2mn+n3的值为（ ）
(A) 1 (B)0 (C)-1 (D)-2
3、已知二次函数的图象如图所示，并设M=|a+b+c|-|a-b+c|+|2a+b|-|2a-b|，则（ ）
(A)M>0 (B)M＝0 (C)M <0 (D)不能确定M为正、为负或为0
4、直角三角形ABC的面积为120，且∠BAC=90º，AD是斜边上的中线，过D作DE⊥AB于E，连CE交AD于F，则△AFE的面积为（ ）
(A)18 (B)20 (C)22 (D)24
5、圆O1与O2圆外切于点A，两圆的一条外公切线与圆O1相切于点B，若AB与两圆的另一条外公切线平行，则圆O1与圆O2的半径之比为（ ）
(A)2：5 (B)1：2 (C)1：3 (D)2：3
6、如果对于不小于8的自然数n，当3n+1是一个完全平方数是，n+1都能表示成个k完全平方数的和，那么k的最小值为（ ）
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
二、填空题（每小题7分，共28分）
1、已知a<0，ab<0，化简， .
2、如图，7根圆形筷子的横截面圆的半径均为r，则捆扎这7根筷子一周的绳子和长度为
3、甲乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相等，且每件商品的单价只有8元和9元，若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有 件。
4、设N=23x+92y为完全平方数，且不超过2392，则满足上述条件的一切正整数对（x，y）共有 对。
三、（本题满分70分）
1、（本题满分20分）
已知：a ，b，c三数满足方程组 ，试求方程bx2+cx-a=0的根。
2、（本题满分25分）
如图，等腰三角形ABC中，P为底边BC上任意点，过P作两腰的平行线分别与AB，AC相交于Q，R两点，又P`的对称点，证明：P'在△ABC的外接圆上。
3、（本题满分25分）
试确定一切有理数r，使得关于x的方程rx2+(r+2)x+r-1=0有且只有整数根。
参考答案
一、BDCBCC
二、1、 2、 3、12 4、27
三、1、由方程组得：a、b是方程x2-8x+c2- c+48=0的两根
△=-4(c- )2≥0，c=4 a=b=4
所以原方程为 x2+ x-1=0
x1= ，x2=
2、连结BP'、P'R、P'C、P'P
（1）证四边形APPQ为平行四边形
（2）证点A、R、Q、P'共圆
（3）证△BP'Q和△P'RC为等腰三角形
（4）证∠P'BA=∠ACP'，原题得证
3、（1）若r=0，x= ，原方程无整数根
（2）当r≠0时，x1+x2= x1x2=
消去r得：4x1x2-2(x1+x2)+1=7 得(2x1-1)(2x2-1)=7
由x1、x2是整数得：r= ，r=1
2003年全国初中数学联合竞赛决赛试题
一、选择题（每小题7分，共42分）
1、2 ＝＿＿。A 5－4 B4 －1 C5 D1
2、在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是＿＿个。A0 B1 C3 D5
3、若函数y＝kx(k＞0)与函数y＝x－1的图象相交于A、C两点，AB垂直x轴于B，则△ABC的面积为＿＿。A1 B2 Ck Dk2
4、满足等式x ＝2003的正整数对的个数是＿＿。A1 B2 C3 D4
5、设△ABC的面积为1，D是边AB上一点，且AD∶AB＝1∶3。若在边AC上取一点E，使四边形DECB的面积为 ，则 的值为＿＿。A B C D
6、如图，在平行四边形ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于E，且与CD相切，若AB＝4，BE＝5，则ED的长为＿＿。A3 B4 C D
二、填空题（每小题7分，共28分）
1、 抛物线y＝ax＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C。若△ABC是直角三角形，则ac＝＿＿＿＿。
2、 设m是整数，且方程3x2＋mx－2=0的两根都大于－ 而小于 ，则m=_______。
3、 如图，AA1、BB1分别是∠EAB、∠DBC的平分线，若AA1＝BB1＝AB，则∠BAC的度数为＿＿。
4、 已知正整数a、b之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么a、b中较大的数是＿＿。
一、（本题满分20分）
试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方，恰好等于这个四位数．
三、（本题满分20分）
在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E、F，使DE＝DF；过E，F分别作CA、CB的垂线，相交于P，设线段PA、PB的中点分别为M、N。求证：①△DEM≌△DFN；②∠PAE＝∠PBF。
四、（本题满分20分）已知实数a、b、c、d互不相等，且a＋ ＝b＋ ＝c＋ ＝d+ ＝x，试求x的值。
三、（本题满分25分）
已知四边形ABCD的面积为32，AB，CD，AC的长都是整数，且它们的和为16．
⑴这样的四边形有几个？
⑵求这样的四边形边长的平方和的最小值．
2003年全国初中数学联赛答案：
第一试
一、1、(D)；
2、(C)；由于任何凸多边形的外角之和都是360º，故外角中钝角的个数不超过3个，即内角中锐角最多不超过3个。
3、(A)；设A( )，则 ，故 。又因为△ABO与△CBO同底等高，因此，
4、(B)；由已知等式可得
而 ，所以， 。故
又因为2003为质数，必有 或
5、(B)；如图3，连结BE，
设 ，则 。
。故
6、(D)；如图4，连结AC、CE。
由AE‖BC，知四边形ABCE是等腰梯形。故AC＝BE＝5。
又因为Dc‖AB，DC与圆相切，所以，∠BAC＝∠ACD＝∠ABC。
则AC＝BC＝AD＝5，DC＝AB＝4
因为 ，故
二、1、－1；设A 。由△ABC是直角三角形可知 必异号。则
由射影定理知 ，即 ；故
2、4；由题设可知，
解得 。故
3、12º；设∠BAC的度数为
因 ，故∠ 又 ，则
∠ ＝∠CBD＝ 。因为∠
故 ，解得 º
4、225；设( )＝ ，且 ， ，其中 ， 与 互质。于是 的最小公倍数为 。依题意有
，即
又 ，据式(2)可得
根据式(1)，只能取 ，可求得
故两个数中较大的数是 。
第二试
A卷
一、解：设前后两个二位数分别为 ，
有 ；即
当△＝
即 ，则 时，方程有实数解
由于 必为完全平方数，而完全平方数的未位数字仅可能为0，1，4，5，6，9，故 仅可取25；此时， 或
故所求四位数为2025或3025
二、(1)如图，据题设可知，DM‖BN，DM＝BN，DN‖AM，DN＝AM
故∠AMD＝∠BND
因为M、N分别是Rt△AEP和Rt△BFP斜边的中点，
所以，EM＝AM＝DN，FN＝BN＝DM
又已知DE＝DF，故△DEM≌△FDN
(2)由上述三角形全等可知∠EMD＝∠FND，则∠AME＝∠BNF
而△AME、△BNF均为等腰三角形，所以，∠PAE＝∠PBF
三、解：由已知有
①； ②； ③； ④
由式①解出 ⑤
式⑤代入式②得 ⑥
将式⑥代入③得
即 ⑦
由式④得 ，代入式⑦得
由已知 ，故
若 ，则由式⑥可得 ，矛盾。故有
B卷
一、同(A卷)第一题的解答。
二、如图，分别取AP、BP的中点M、N。连结EM、DM、FN、DN。由D是AB的中点，则
DM‖BN，DM＝BN，DN‖AM，DN＝AM。故∠AMD＝∠BND。
又因为M、N分别是Rt△AEP、Rt△BFP斜边的中点，所以，
EM＝AM＝DN，FN＝BN＝DM。
因为DE＝DF，则△DEM≌△FDN
故∠EMD＝∠FND，从而，∠AME＝∠BNF
而△AME、△BNF均为等腰三角形，故∠PAE＝∠PBF
三、(1)如图，记AB＝a，CD＝b，AC＝ ，并设△ABC的边AB上的高为 ，△ADC的边DC上的高为 。则
＝
仅当 时等号成立。即在四边形ABCD中，当AC⊥AB，AC⊥CD时等号成立。
由已知可得
又由题设 ，可得
于是， ，且这时AC⊥AB，AC⊥CD
因此，这样的四边形有如下4下：
，
它们都是以AC为高的梯形或平行四边形。
(2)又由AB＝ ，CD＝ ，则
因此，这样的四边形的边长的平方和为
故当 时，平方和最小，且为192
(C)卷
一、同(A卷)第三题的解答。
二、除图的形式不同(如图)外，解答同(B卷)第二题
三、同(B卷)第三题解答。
2004年全国初中数学联合数学竞赛试题
第一试
一．选择题
1．已知abc≠0，且a+b+c=0, 则代数式 的值是（ ）
(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0
2．已知p,q均为质数，且满足5p2+3q=59，则以p+3,1-p+q,2p+q-4为边长的三角形是（ ）
(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 等腰三角形
3． 一个三角形的边长分别为a,a,b，另一个三角形的边长分别为b,b,a，其中a>b，若两个三角形的最小内角相等，则 的值等于（ ）
(A) (B) (C) (D)
4．过点P(-1,3)作直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，这样的直线可以作（ ）
(A) 4条 (B) 3条 (C) 2条 (D) 1条
5．已知b2-4ac是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个实数根，则ab的取值范围为（ ）
(A) (B) (C) (D)
6．如图，在2×3矩形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，则以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为（ ）
(A) 24 (B) 38 (C) 46 (D) 50
二．填空题
1．计算 = .
2．如图ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆交于另一点P，延长AP交BC于点N，则 = .
3．实数a,b满足a3+b3+3ab=1,，则a+b= .
4．设m是不能表示为三个合数之和的最大整数，则m= .
第二试（A）
一． 已知方程x2-6x-4n2-32n=0的根都是整数，求整数n的值。
二． 已知如图，梯形ABCD中，AD‖BC, 以两腰AB,CD为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF，设线段AD的垂直平分线l交线段EF于点M，EP⊥l于P，FQ⊥l于Q。
求证：EP=FQ
三． 已知点A(0,3)，B(-2,-1)，C(2,-1) P(t,t2)为抛物线y＝x2上位于三角形ABC内（包括边界）的一动点，BP所在的直线交AC于E， CP所在的直线交AB于F。将 表示为自变量t的函数。
第二试（B）
一． 已知方程x2-6x-4n2-32n=0的根都是整数，求整数n的值。
二． 已知如图，梯形ABCD中，AD‖BC, 以两腰AB,CD为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF，设线段AD的垂直平分线l交线段EF于点M。
求证：M为EF的中点。
三． 已知点A(0,3)，B(-2,-1)，C(2,-1) P(t,t2)为抛物线y＝x2上位于三角形ABC内（包括边界）的一动点，BP所在的直线交AC于E， CP所在的直线交AB于F。将 表示为自变量t的函数。
第二试（C）
一． 已知方程x2-6x-4n2-32n=0的根都是整数，求整数n的值。
二． 已知如图，梯形ABCD中，AD‖BC, 以两腰AB,CD为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF， 连接EF，设线段EF的中点为M。
求证：MA=MD。
三． 已知点A(0,3)，B(-2,-1)，C(2,-1) P(t,t2)为抛物线y＝x2上位于三角形ABC内（包括边界）的一动点，BP所在的直线交AC于E， CP所在的直线交AB于F。将 表示为自变量t的函数。
参考答案：
一试
一．ABBCBD
二．1． 2． 3．1或-2 4．17
二试
一． -18，-8，0，10
二． （略）
三．
2005年全国初中数学联赛初赛试卷
3月25日下午2：30－4:30或3月26日上午9：00－11：30
学校___________ 考生姓名___________
题 号 一 二 三 四 五 合 计
得 分
评卷人
复核人
一、选择题（每小题7分，共计42分）
1、若a、b为实数，则下列命题中正确的是（ ）
（A）a＞b a2＞b2 (B)a≠b a2≠b2 (C)|a|＞b a2＞b2 (D)a＞|b| a2＞b2
2、已知：a+b+c=3,a2+b2+c2=3,则a2005+b2005+c2005的值是（ ）
（A） 0 (B) 3 (C) 22005 (D)3•22005
3、有一种足球是由若干块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，（如图），如果缝制好的这种足球黑皮有12块，则白皮有（ ）块。
(A) 16 (B) 18 (C) 20 (D) 22
4、在Rt△ABC中，斜边AB=5，而直角边BC、AC之长是一元二次方程x2－(2m－1)x+4(m－1)=0的两根，则m的值是（ ）
（A）4 （B）－1 （C）4或－1 （D）－4或1
5、在直角坐标系中，横坐标都是整数的点称为整点，设k为整数，当直线y=x－3与y=kx+k的交点为整数时，k的值可以取（ ）
（A）2个 （B）4个 （C）6个 （D）8个
6、如图，直线x=1是二次函数 y=ax2+bx+c的图像的对称轴，则有（ ）
（A）a+b+c=0 （B）b＞a+c （C）c＞2b （D）abc＜0
二、填空题 （每小题7分，共计28分）
1、已知：x为非零实数，且 = a, 则 =_____________。
2、已知a为实数，且使关于x的二次方程x2+a2x+a = 0有实根，则该方程的根x所能取到的最大值是_______________________.
3、p是⊙o的直径AB的延长线上一点，PC与⊙o相切于点C，∠APC的角平分线交AC于Q，则
则∠PQC = _________.
4、对于一个自然数n，如果能找到自然数a和b，使n=a+b+ab,则称n为一个“好数”，例如：
3=1+1+1×1，则3是一个“好数”，在1~20这20个自然数中，“好数”共有__________个。
三、（本题满分20分）设A、B是抛物线y=2x2+4x－2上的点，原点位于线段AB的中点处。
试求A、B两点的坐标。
四、（本题满分25分）如图，AB是⊙o的直径，AB=d，过A作⊙o的切线并在其上取一点C，使AC=AB，连结OC叫⊙o于点D，BD的延长线交AC于E，求AE的长。
五、（本题满分25分）设x = a+b－c ,y = a+c－b ,z = b+c－a ,其中a、b、c是待定的质数，如果x2 = y , = 2,试求积abc的所有可能的值。
2005年全国初中数学联赛决赛试卷
一、选择题：(每题7分，共42分)
1、化简： 的结果是＿＿。
A、无理数 B、真分数 C、奇数 D、偶数
2、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14；则这个四边形的面积为＿＿。
A、78.5 B、97.5 C、90 D、102
3、设r≥4，a＝ ，b＝ ，
c＝ ，则下列各式一定成立的是＿＿。
A、a>b>c B、b>c>a C、c>a>b D、c>b>a
4、图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是＿＿。
A、 B、 C、 D、
5、已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示， y
记p＝|a－b＋c|＋|2a＋b|，q＝|a＋b＋c|＋|2a－b|，则＿＿。
A、p>q B、p＝q C、p<q D、p、q大小关系不能确定
0 1 x
6、若x1，x2，x3，x4，x5为互不相等的正奇数，满足(2005－x1)(2005－x2)(2005－x3)(2005－x4)(2005－x5)＝242，则 的未位数字是＿＿。
A、1 B、3 C、5 D、7
二、填空题(共28分)
1、不超过100的自然数中，将凡是3或5的倍数的数相加，其和为＿＿。
2、 x＝＿＿＿。
3、若实数x、y满足 则x＋y＝＿＿。
4、已知锐角三角形ABC的三个内角A、B、C满足：A＞B＞C，用a表示A－B，B－C以及90°－A中的最小者，则a的最大值为＿＿＿。
三、解答题(第1题20分，第2、3题各25分)
1、a、b、c为实数，ac＜0，且 ，证明：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有大于 而小于1的根。
2、锐角ΔABC中，AB＞AC，CD、BE分别是AB、AC边上的高，过D作BC的垂线交BE于F，交CA的延长线于P，过E作BC的垂线，交CD于G，交BA的延长线于Q，证明：BC、DE、FG、PQ四条直线相交于一点。
3、a、b、c为正整数，且a2＋b3＝c4，求c的最小值。
2005年全国联赛决赛试卷详解
一、选择题：(每题7分，共42分)
1、化简： 的结果是＿＿。
A、无理数 B、真分数 C、奇数 D、偶数
解：
所以选D
2、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14；则这个四边形的面积为＿＿。
A、78.5 B、97.5 C、90 D、102
解：由题意得：
52＋142－2×5×14×cosα＝102＋112－2×10×11×cos(180°－α)
∴221－140cosα＝221＋220 cosα
∴cosα＝0
∴α＝90°
∴四边形的面积为：5×7＋5×11＝90
∴选C
3、设r≥4，a＝ ，b＝ ，c＝ ，则下列各式一定成立的是＿＿。
A、a>b>c B、b>c>a C、c>a>b D、c>b>a
解法1：用特值法，取r=4，则有
a= ，b＝ ，
c＝
∴c>b>a，选D
解法2：a＝ ，
b＝
c＝
解法3：∵r≥4 ∴ ＜1
∴
c＝
∴a<b<c，选D
4、图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是＿＿。
A、 B、 C、 D、
解：由图形割补知圆面积等于矩形ABCD的面积
∴
由垂径定理得公共弦为
∴选D
5、已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，
记p＝|a－b＋c|＋|2a＋b|，q＝|a＋b＋c|＋|2a－b|，则＿＿。
A、p>q B、p＝q C、p<q D、p、q大小关系不能确定
解：由题意得：a0，c=0
∴p＝|a－b|＋|2a＋b|，q＝|a＋b|＋|2a－b|
又
∴p＝|a－b|＋|2a＋b|＝b-a+2a+b=a+2b=2b+a，
q＝|a＋b|＋|2a－b|= a＋b＋b-2a=2b-a
∴p<q，选C
6、若x1，x2，x3，x4，x5为互不相等的正奇数，满足(2005－x1)(2005－x2)(2005－x3)(2005－x4)(2005－x5)＝242，则 的未位数字是＿＿。
A、1 B、3 C、5 D、7
解：因为x1，x2，x3，x4，x5为互不相等的正奇数，所以(2005－x1)、(2005－x2)、(2005－x3)、(2005－x4)、(2005－x5)为互不相等的偶数
而将242分解为5个互不相等的偶数之积，只有唯一的形式：242＝2•(-2)•4•6•(-6)
所以(2005－x1)、(2005－x2)、(2005－x3)、(2005－x4)、(2005－x5)分别等于2、(-2)、4、6、(-6)
所以(2005－x1)2＋(2005－x2)2＋(2005－x3) 2＋(2005－x4) 2＋(2005－x5) 2＝22＋(-2) 2＋42＋62＋(-6) 2＝96
展开得：
二、填空题(共28分)
1、不超过100的自然数中，将凡是3或5的倍数的数相加，其和为＿＿。
解：(3×1＋3×2＋……3×33)＋(5×1＋5×2＋……5×20)－(15×1＋15×2＋……15×6)＝1683＋1050－315＝2418
2、 x＝＿＿＿。
解：分子有理化得：
∵x≠0，
∴
两边平方化简得：
再平方化简得：
3、若实数x、y满足 则x＋y＝＿＿。
解法1：假设x＋y＝a，则y＝a－x
解法2：易知
化简得：
4、已知锐角三角形ABC的三个内角A、B、C满足：A＞B＞C，用a表示A－B，B－C以及90°－A中的最小者，则a的最大值为＿＿＿。
解：
三、解答题(第1题20分，第2、3题各25分)
1、a、b、c为实数，ac＜0，且 ，证明：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有大于 而小于1的根。
解：设
∴
∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有大于 而小于1的根.
2、锐角ΔABC中，AB＞AC，CD、BE分别是AB、AC边上的高，DE 与BC的延长线于交于T，过D作BC的垂线交BE于F，过E作BC的垂线交CD于G，证明：F、G、T三点共线。
证法1：设过D、E的垂线分别交BC于M、N，在Rt△BEC 与Rt△BDC中，由射影定理得：
CE2＝CN•CB，BD2＝BM•BC
∴
又Rt△CNG ∽Rt△DCB，Rt△BMF ∽Rt△BEC，
∴
∴
在Rt△BEC 与Rt△BDC中，由面积关系得：BE•CE＝EN•BC，BD•CD＝DM•BC
∴
由(1)(2)得：
证法2：设CD、BE相交于点H，则H为△ABC的垂心，记DF、EG、AH与BC的交点分别为M、N、R
∵DM‖AR‖EN
∴
由合比定理得：
证法3：在△ABC中，直线DET分别交BC、CA、AB于T、E、D，由梅涅劳斯定理得：
设CD、BE相交于点H，则H为△ABC的垂心，AH⊥BC
∵DF⊥BC、EG⊥BC
∴AH ‖DF ‖EG
∴
由梅涅劳斯定理的逆定理得：F、G、T三点共线.
证法4：连结FT交EN于G’，易知
为了证明F、G、T三点共线，只需证明 即可
∵
又
∴
∵CD⊥AB、BE⊥CA，∴B、D、E、C四点共圆
∴∠ABE＝∠ACD (2)
又 (3)
将(2) (3)代入（1）得： ，故F、G、T三点共线.
3、设a、b、c为正整数，且a2＋b3＝c4，求c的最小值。
解：显然c＞1.由题设得：(c2-a)(c2+a)=b3
若取
由大到小考察b，使 为完全平方数，易知当b＝8时，c2＝36，则c=6，从而a=28。下面说明c没有比6更小的正整数解，列表如下：
c c4 x3(x3<c4) c4-x3
2 16 1,8 17,8
3 81 1,8,27,64 80,73,54,17
4 256 1,8,27,64,125,216 255,248,229,192,131,40
5 625 1,8,27,64,125,216,343,512 624,617,598,561,500,409,282,113
显然，表中c4-x3的值均不是完全平方数。故c的最小值为6
参考答案：一、1、D 原式=
2、C ∵52+142=221=102+112 ∠A、 ∠C都是直角
3、D
4、D 5、C 6、A
二、1、2418 2、 3、x＋y＝33＋43＋53＋63＝432 4、15°
三、1、略 2、略 3、c的最小值为6。
浙江省余姚市实验学校的介绍
我是实验06毕业的学生，我觉得实验吧超好的，在学校里的时候一直埋怨她这里不好那里不好，可是等毕业的才知道她的好，才信服曾经那些学长回校后讲的那些想回到母校的话。班主任很负责很认真，对学生很亲切很关心我们，无论是生活上还是学习上。生辅老师也很好的，晚上还给我们盖被子。我们班曾经的那个生辅老师还给男生亲手洗衣服，女生经期时候的床单她也会洗。然后就是学校食堂了，上了高中才知道实验的食堂的菜很好吃，菜色很丰富，搭配也很好，有些学生会挑食，学校还会组织老师在门口检查，监督学生有没有浪费啊，挑食啊。吃饭的时候生辅老师也是在饭堂的。然后一天除了三餐，早上还有牛奶，下午有水果，晚上有蛋糕之类的。但是学校是不允许带零食的。然后，早晨有晨跑，每个学生都要参加，特殊情况还是可以请假的，800米哦，班级排队跑的。本人本来体质不太好，就因为实验的食堂，还有晨跑，三年初中生活没生什么病，连感冒很少。寝室生活条件也很好，每天都用热水，记得冬天的时候我们还用热水洗衣服，比起高中要自己打水拎上6楼，简直太幸福了。还有啊，学校有洗衣房，每星期有两次换校服，然后拿到洗衣房洗，生辅老师会定时叫同学晒被子啊，洗床单被套啊，学生平时的生活照顾的很细。实验的升学率就不讲了，大家都知道的，老师抓的紧，每个任课老师都很负责，老师办公室就在教室后面，我们管那叫附房，可以随时问老师问题，就因为老师跟学生距离近了师生关系都很好。实验小学部的情况我也不是很了解，但据我看到的，小学部的生辅老师每天早上都会在教室给女生梳头啊，教他们念拼音什么的，她们比初中的生辅老师更细致，小学部寝室低年级的床都是单张的，不是上下铺。我现在能想到的就这些了，其他的那些概况就是一楼说的那些了，还有什么想问的都可以问我，很乐意解答。再说一句啊，我们这些毕业的学生都很喜欢实验，想念实验，当初要是实验有高中就填实验了，可惜办了两届就没办了。
解答一道初中数学题,有心人请帮帮忙.
我来回答；2001年全国初中数学联赛
一、选择题（每小题7分，共42分）
1、a，b，c为有理数，且等式 成立，则2a+999b+1001c的值是（ ）
（A） 1999（B）2000（C）2001（D）不能确定
2、若 ，且有5a2+2001a+9=0及 ，则 的值是（ ）
（A） （B） （C） （D）
3、已知在△ABC中，∠ACB=900，∠ABC=150，BC=1，则AC的长为（ ）
（A） （B） （C） （D）
4、如图，在△ABC中，D是边AC上的一点，下面四种情况中，△ABD∽△ACB不一定成立的情况是（ ）
（A） （B）
（C）∠ABD=∠ACB （D）
5、①在实数范围内，一元二次方程 的根为 ；②在△ABC中，若 ，则△ABC是锐角三角形；③在△ABC和 中，a，b，c分别为△ABC的三边， 分别为 的三边，若 ，则△ABC的面积S大于 的面积 。以上三个命题中，假命题的个数是（ ）
（A）0（B）1（C）2（D）3
6、某商场对顾客实行优惠，规定：①如一次购物不超过200元，则不予折扣；②如一次购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠。某人两次去购物，分别付款168元和423元；如果他只去一次购物同样的商品，则应付款是（ ）
（A）522.8元（B）510.4元（C）560.4元（D）472.8
二、填空题（每小题7分，共28分）
1、已知点P在直角坐标系中的坐标为（0，1），O为坐标原点，∠QPO=1500，且P到Q的距离为2，则Q的坐标为 。
2、已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P，则点P到两圆外公切线的距离为 。
3、已知 是正整数，并且 ，则 = 。
4、一个正整数，若分别加上100和168，则可得到两个完全平方数，这个正整数为 。
三、 解答题（共70分）
1、在直角坐标系中有三点A（0，1），B（1，3），C（2，6）；已知直线 上横坐标为0、1、2的点分别为D、E、F。试求 的值使得AD2+BE2+CF2达到最大值。（20分）
（1） 证明：若 取任意整数时，二次函数 总取整数值，那么 都是整数；
（2）写出上述命题的逆命题，并判断真假，且证明你的结论。（25分）
3、如图，D，E是△ABC边BC上的两点，F是BC延长线上的一点，∠DAE=∠CAF。（1）判断△ABD的外接圆与△AEC的外接圆的位置关系，并证明你的结论；（2）若△ABD的外接圆的半径的2倍，BC=6，AB=4，求BE的长。
解答题：
1、 如图，EFGH是正方形ABCD的内接四边形，两条对角线EG和FH所夹的锐
角为θ，且∠BEG与∠CFH都是锐角。已知EG=k，FH= ，四边形EFGH的面积为S。
（1）求证：sinθ= ；
（2）试用 来表示正方形的面积。
2、 求所有的正整数a，b，c，使得关于x的方程 ， ，
的所有的根都是正整数。
3、在锐角△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，DE⊥AC，E为垂足，DF⊥AB，F为垂足。O为△ABC的外心。
求证：（1）△AEF∽△ABC；
（2）AO⊥EF
4、如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，直线 平行于BD，且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P。
求证：PM PN＝PR PS
2002年全国初中数学联合竞赛试卷
（2002年4月21日8：30—10：30）
一、选择题（本题42分，每小题7分）
1、已知a= -1，b=2 - ，c= -2，那么a，b，c的大小关系是（ ）
(A) a<b<c (B) b<a<c (C) c<b<a (D)c<a<b
2、若m2=n+2，n2=m+2(m≠n)，则m3-2mn+n3的值为（ ）
(A) 1 (B)0 (C)-1 (D)-2
3、已知二次函数的图象如图所示，并设M=|a+b+c|-|a-b+c|+|2a+b|-|2a-b|，则（ ）
(A)M>0 (B)M＝0 (C)M <0 (D)不能确定M为正、为负或为0
4、直角三角形ABC的面积为120，且∠BAC=90º，AD是斜边上的中线，过D作DE⊥AB于E，连CE交AD于F，则△AFE的面积为（ ）
(A)18 (B)20 (C)22 (D)24
5、圆O1与O2圆外切于点A，两圆的一条外公切线与圆O1相切于点B，若AB与两圆的另一条外公切线平行，则圆O1与圆O2的半径之比为（ ）
(A)2：5 (B)1：2 (C)1：3 (D)2：3
6、如果对于不小于8的自然数n，当3n+1是一个完全平方数是，n+1都能表示成个k完全平方数的和，那么k的最小值为（ ）
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
二、填空题（每小题7分，共28分）
1、已知a<0，ab<0，化简， .
2、如图，7根圆形筷子的横截面圆的半径均为r，则捆扎这7根筷子一周的绳子和长度为
3、甲乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相等，且每件商品的单价只有8元和9元，若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有 件。
4、设N=23x+92y为完全平方数，且不超过2392，则满足上述条件的一切正整数对（x，y）共有 对。
三、（本题满分70分）
1、（本题满分20分）
已知：a ，b，c三数满足方程组 ，试求方程bx2+cx-a=0的根。
2、（本题满分25分）
如图，等腰三角形ABC中，P为底边BC上任意点，过P作两腰的平行线分别与AB，AC相交于Q，R两点，又P`的对称点，证明：P'在△ABC的外接圆上。
3、（本题满分25分）
试确定一切有理数r，使得关于x的方程rx2+(r+2)x+r-1=0有且只有整数根。
参考答案
一、BDCBCC
二、1、 2、 3、12 4、27
三、1、由方程组得：a、b是方程x2-8x+c2- c+48=0的两根
△=-4(c- )2≥0，c=4 a=b=4
所以原方程为 x2+ x-1=0
x1= ，x2=
2、连结BP'、P'R、P'C、P'P
（1）证四边形APPQ为平行四边形
（2）证点A、R、Q、P'共圆
（3）证△BP'Q和△P'RC为等腰三角形
（4）证∠P'BA=∠ACP'，原题得证
3、（1）若r=0，x= ，原方程无整数根
（2）当r≠0时，x1+x2= x1x2=
消去r得：4x1x2-2(x1+x2)+1=7 得(2x1-1)(2x2-1)=7
由x1、x2是整数得：r= ，r=1
2003年全国初中数学联合竞赛决赛试题
一、选择题（每小题7分，共42分）
1、2 ＝＿＿。A 5－4 B4 －1 C5 D1
2、在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是＿＿个。A0 B1 C3 D5
3、若函数y＝kx(k＞0)与函数y＝x－1的图象相交于A、C两点，AB垂直x轴于B，则△ABC的面积为＿＿。A1 B2 Ck Dk2
4、满足等式x ＝2003的正整数对的个数是＿＿。A1 B2 C3 D4
5、设△ABC的面积为1，D是边AB上一点，且AD∶AB＝1∶3。若在边AC上取一点E，使四边形DECB的面积为 ，则 的值为＿＿。A B C D
6、如图，在平行四边形ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于E，且与CD相切，若AB＝4，BE＝5，则ED的长为＿＿。A3 B4 C D
二、填空题（每小题7分，共28分）
1、 抛物线y＝ax＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C。若△ABC是直角三角形，则ac＝＿＿＿＿。
2、 设m是整数，且方程3x2＋mx－2=0的两根都大于－ 而小于 ，则m=_______。
3、 如图，AA1、BB1分别是∠EAB、∠DBC的平分线，若AA1＝BB1＝AB，则∠BAC的度数为＿＿。
4、 已知正整数a、b之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么a、b中较大的数是＿＿。
一、（本题满分20分）
试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方，恰好等于这个四位数．
三、（本题满分20分）
在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E、F，使DE＝DF；过E，F分别作CA、CB的垂线，相交于P，设线段PA、PB的中点分别为M、N。求证：①△DEM≌△DFN；②∠PAE＝∠PBF。
四、（本题满分20分）已知实数a、b、c、d互不相等，且a＋ ＝b＋ ＝c＋ ＝d+ ＝x，试求x的值。
三、（本题满分25分）
已知四边形ABCD的面积为32，AB，CD，AC的长都是整数，且它们的和为16．
⑴这样的四边形有几个？
⑵求这样的四边形边长的平方和的最小值．
2003年全国初中数学联赛答案：
第一试
一、1、(D)；
2、(C)；由于任何凸多边形的外角之和都是360º，故外角中钝角的个数不超过3个，即内角中锐角最多不超过3个。
3、(A)；设A( )，则 ，故 。又因为△ABO与△CBO同底等高，因此，
4、(B)；由已知等式可得
而 ，所以， 。故
又因为2003为质数，必有 或
5、(B)；如图3，连结BE，
设 ，则 。
。故
6、(D)；如图4，连结AC、CE。
由AE‖BC，知四边形ABCE是等腰梯形。故AC＝BE＝5。
又因为Dc‖AB，DC与圆相切，所以，∠BAC＝∠ACD＝∠ABC。
则AC＝BC＝AD＝5，DC＝AB＝4
因为 ，故
二、1、－1；设A 。由△ABC是直角三角形可知 必异号。则
由射影定理知 ，即 ；故
2、4；由题设可知，
解得 。故
3、12º；设∠BAC的度数为
因 ，故∠ 又 ，则
∠ ＝∠CBD＝ 。因为∠
故 ，解得 º
4、225；设( )＝ ，且 ， ，其中 ， 与 互质。于是 的最小公倍数为 。依题意有
，即
又 ，据式(2)可得
根据式(1)，只能取 ，可求得
故两个数中较大的数是 。
第二试
A卷
一、解：设前后两个二位数分别为 ，
有 ；即
当△＝
即 ，则 时，方程有实数解
由于 必为完全平方数，而完全平方数的未位数字仅可能为0，1，4，5，6，9，故 仅可取25；此时， 或
故所求四位数为2025或3025
二、(1)如图，据题设可知，DM‖BN，DM＝BN，DN‖AM，DN＝AM
故∠AMD＝∠BND
因为M、N分别是Rt△AEP和Rt△BFP斜边的中点，
所以，EM＝AM＝DN，FN＝BN＝DM
又已知DE＝DF，故△DEM≌△FDN
(2)由上述三角形全等可知∠EMD＝∠FND，则∠AME＝∠BNF
而△AME、△BNF均为等腰三角形，所以，∠PAE＝∠PBF
三、解：由已知有
①； ②； ③； ④
由式①解出 ⑤
式⑤代入式②得 ⑥
将式⑥代入③得
即 ⑦
由式④得 ，代入式⑦得
由已知 ，故
若 ，则由式⑥可得 ，矛盾。故有
B卷
一、同(A卷)第一题的解答。
二、如图，分别取AP、BP的中点M、N。连结EM、DM、FN、DN。由D是AB的中点，则
DM‖BN，DM＝BN，DN‖AM，DN＝AM。故∠AMD＝∠BND。
又因为M、N分别是Rt△AEP、Rt△BFP斜边的中点，所以，
EM＝AM＝DN，FN＝BN＝DM。
因为DE＝DF，则△DEM≌△FDN
故∠EMD＝∠FND，从而，∠AME＝∠BNF
而△AME、△BNF均为等腰三角形，故∠PAE＝∠PBF
三、(1)如图，记AB＝a，CD＝b，AC＝ ，并设△ABC的边AB上的高为 ，△ADC的边DC上的高为 。则
＝
仅当 时等号成立。即在四边形ABCD中，当AC⊥AB，AC⊥CD时等号成立。
由已知可得
又由题设 ，可得
于是， ，且这时AC⊥AB，AC⊥CD
因此，这样的四边形有如下4下：
，
它们都是以AC为高的梯形或平行四边形。
(2)又由AB＝ ，CD＝ ，则
因此，这样的四边形的边长的平方和为
故当 时，平方和最小，且为192
(C)卷
一、同(A卷)第三题的解答。
二、除图的形式不同(如图)外，解答同(B卷)第二题
三、同(B卷)第三题解答。
2004年全国初中数学联合数学竞赛试题
第一试
一．选择题
1．已知abc≠0，且a+b+c=0, 则代数式 的值是（ ）
(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0
2．已知p,q均为质数，且满足5p2+3q=59，则以p+3,1-p+q,2p+q-4为边长的三角形是（ ）
(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 等腰三角形
3． 一个三角形的边长分别为a,a,b，另一个三角形的边长分别为b,b,a，其中a>b，若两个三角形的最小内角相等，则 的值等于（ ）
(A) (B) (C) (D)
4．过点P(-1,3)作直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，这样的直线可以作（ ）
(A) 4条 (B) 3条 (C) 2条 (D) 1条
5．已知b2-4ac是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个实数根，则ab的取值范围为（ ）
(A) (B) (C) (D)
6．如图，在2×3矩形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，则以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为（ ）
(A) 24 (B) 38 (C) 46 (D) 50
二．填空题
1．计算 = .
2．如图ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆交于另一点P，延长AP交BC于点N，则 = .
3．实数a,b满足a3+b3+3ab=1,，则a+b= .
4．设m是不能表示为三个合数之和的最大整数，则m= .
第二试（A）
一． 已知方程x2-6x-4n2-32n=0的根都是整数，求整数n的值。
二． 已知如图，梯形ABCD中，AD‖BC, 以两腰AB,CD为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF，设线段AD的垂直平分线l交线段EF于点M，EP⊥l于P，FQ⊥l于Q。
求证：EP=FQ
三． 已知点A(0,3)，B(-2,-1)，C(2,-1) P(t,t2)为抛物线y＝x2上位于三角形ABC内（包括边界）的一动点，BP所在的直线交AC于E， CP所在的直线交AB于F。将 表示为自变量t的函数。
第二试（B）
一． 已知方程x2-6x-4n2-32n=0的根都是整数，求整数n的值。
二． 已知如图，梯形ABCD中，AD‖BC, 以两腰AB,CD为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF，设线段AD的垂直平分线l交线段EF于点M。
求证：M为EF的中点。
三． 已知点A(0,3)，B(-2,-1)，C(2,-1) P(t,t2)为抛物线y＝x2上位于三角形ABC内（包括边界）的一动点，BP所在的直线交AC于E， CP所在的直线交AB于F。将 表示为自变量t的函数。
第二试（C）
一． 已知方程x2-6x-4n2-32n=0的根都是整数，求整数n的值。
二． 已知如图，梯形ABCD中，AD‖BC, 以两腰AB,CD为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF， 连接EF，设线段EF的中点为M。
求证：MA=MD。
三． 已知点A(0,3)，B(-2,-1)，C(2,-1) P(t,t2)为抛物线y＝x2上位于三角形ABC内（包括边界）的一动点，BP所在的直线交AC于E， CP所在的直线交AB于F。将 表示为自变量t的函数。
参考答案：
一试
一．ABBCBD
二．1． 2． 3．1或-2 4．17
二试
一． -18，-8，0，10
二． （略）
三．
2005年全国初中数学联赛初赛试卷
3月25日下午2：30－4:30或3月26日上午9：00－11：30
学校___________ 考生姓名___________
题 号 一 二 三 四 五 合 计
得 分
评卷人
复核人
一、选择题（每小题7分，共计42分）
1、若a、b为实数，则下列命题中正确的是（ ）
（A）a＞b a2＞b2 (B)a≠b a2≠b2 (C)|a|＞b a2＞b2 (D)a＞|b| a2＞b2
2、已知：a+b+c=3,a2+b2+c2=3,则a2005+b2005+c2005的值是（ ）
（A） 0 (B) 3 (C) 22005 (D)3•22005
3、有一种足球是由若干块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，（如图），如果缝制好的这种足球黑皮有12块，则白皮有（ ）块。
(A) 16 (B) 18 (C) 20 (D) 22
4、在Rt△ABC中，斜边AB=5，而直角边BC、AC之长是一元二次方程x2－(2m－1)x+4(m－1)=0的两根，则m的值是（ ）
（A）4 （B）－1 （C）4或－1 （D）－4或1
5、在直角坐标系中，横坐标都是整数的点称为整点，设k为整数，当直线y=x－3与y=kx+k的交点为整数时，k的值可以取（ ）
（A）2个 （B）4个 （C）6个 （D）8个
6、如图，直线x=1是二次函数 y=ax2+bx+c的图像的对称轴，则有（ ）
（A）a+b+c=0 （B）b＞a+c （C）c＞2b （D）abc＜0
二、填空题 （每小题7分，共计28分）
1、已知：x为非零实数，且 = a, 则 =_____________。
2、已知a为实数，且使关于x的二次方程x2+a2x+a = 0有实根，则该方程的根x所能取到的最大值是_______________________.
3、p是⊙o的直径AB的延长线上一点，PC与⊙o相切于点C，∠APC的角平分线交AC于Q，则
则∠PQC = _________.
4、对于一个自然数n，如果能找到自然数a和b，使n=a+b+ab,则称n为一个“好数”，例如：
3=1+1+1×1，则3是一个“好数”，在1~20这20个自然数中，“好数”共有__________个。
三、（本题满分20分）设A、B是抛物线y=2x2+4x－2上的点，原点位于线段AB的中点处。
试求A、B两点的坐标。
四、（本题满分25分）如图，AB是⊙o的直径，AB=d，过A作⊙o的切线并在其上取一点C，使AC=AB，连结OC叫⊙o于点D，BD的延长线交AC于E，求AE的长。
五、（本题满分25分）设x = a+b－c ,y = a+c－b ,z = b+c－a ,其中a、b、c是待定的质数，如果x2 = y , = 2,试求积abc的所有可能的值。
2005年全国初中数学联赛决赛试卷
一、选择题：(每题7分，共42分)
1、化简： 的结果是＿＿。
A、无理数 B、真分数 C、奇数 D、偶数
2、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14；则这个四边形的面积为＿＿。
A、78.5 B、97.5 C、90 D、102
3、设r≥4，a＝ ，b＝ ，
c＝ ，则下列各式一定成立的是＿＿。
A、a>b>c B、b>c>a C、c>a>b D、c>b>a
4、图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是＿＿。
A、 B、 C、 D、
5、已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示， y
记p＝|a－b＋c|＋|2a＋b|，q＝|a＋b＋c|＋|2a－b|，则＿＿。
A、p>q B、p＝q C、p<q D、p、q大小关系不能确定
0 1 x
6、若x1，x2，x3，x4，x5为互不相等的正奇数，满足(2005－x1)(2005－x2)(2005－x3)(2005－x4)(2005－x5)＝242，则 的未位数字是＿＿。
A、1 B、3 C、5 D、7
二、填空题(共28分)
1、不超过100的自然数中，将凡是3或5的倍数的数相加，其和为＿＿。
2、 x＝＿＿＿。
3、若实数x、y满足 则x＋y＝＿＿。
4、已知锐角三角形ABC的三个内角A、B、C满足：A＞B＞C，用a表示A－B，B－C以及90°－A中的最小者，则a的最大值为＿＿＿。
三、解答题(第1题20分，第2、3题各25分)
1、a、b、c为实数，ac＜0，且 ，证明：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有大于 而小于1的根。
2、锐角ΔABC中，AB＞AC，CD、BE分别是AB、AC边上的高，过D作BC的垂线交BE于F，交CA的延长线于P，过E作BC的垂线，交CD于G，交BA的延长线于Q，证明：BC、DE、FG、PQ四条直线相交于一点。
3、a、b、c为正整数，且a2＋b3＝c4，求c的最小值。
2005年全国联赛决赛试卷详解
一、选择题：(每题7分，共42分)
1、化简： 的结果是＿＿。
A、无理数 B、真分数 C、奇数 D、偶数
解：
所以选D
2、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14；则这个四边形的面积为＿＿。
A、78.5 B、97.5 C、90 D、102
解：由题意得：
52＋142－2×5×14×cosα＝102＋112－2×10×11×cos(180°－α)
∴221－140cosα＝221＋220 cosα
∴cosα＝0
∴α＝90°
∴四边形的面积为：5×7＋5×11＝90
∴选C
3、设r≥4，a＝ ，b＝ ，c＝ ，则下列各式一定成立的是＿＿。
A、a>b>c B、b>c>a C、c>a>b D、c>b>a
解法1：用特值法，取r=4，则有
a= ，b＝ ，
c＝
∴c>b>a，选D
解法2：a＝ ，
b＝
c＝
解法3：∵r≥4 ∴ ＜1
∴
c＝
∴a<b<c，选D
4、图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是＿＿。
A、 B、 C、 D、
解：由图形割补知圆面积等于矩形ABCD的面积
∴
由垂径定理得公共弦为
∴选D
5、已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，
记p＝|a－b＋c|＋|2a＋b|，q＝|a＋b＋c|＋|2a－b|，则＿＿。
A、p>q B、p＝q C、p<q D、p、q大小关系不能确定
解：由题意得：a<0，b>0，c=0
∴p＝|a－b|＋|2a＋b|，q＝|a＋b|＋|2a－b|
又
∴p＝|a－b|＋|2a＋b|＝b-a+2a+b=a+2b=2b+a，
q＝|a＋b|＋|2a－b|= a＋b＋b-2a=2b-a
∴p<q，选C
6、若x1，x2，x3，x4，x5为互不相等的正奇数，满足(2005－x1)(2005－x2)(2005－x3)(2005－x4)(2005－x5)＝242，则 的未位数字是＿＿。
A、1 B、3 C、5 D、7
解：因为x1，x2，x3，x4，x5为互不相等的正奇数，所以(2005－x1)、(2005－x2)、(2005－x3)、(2005－x4)、(2005－x5)为互不相等的偶数
而将242分解为5个互不相等的偶数之积，只有唯一的形式：242＝2•(-2)•4•6•(-6)
所以(2005－x1)、(2005－x2)、(2005－x3)、(2005－x4)、(2005－x5)分别等于2、(-2)、4、6、(-6)
所以(2005－x1)2＋(2005－x2)2＋(2005－x3) 2＋(2005－x4) 2＋(2005－x5) 2＝22＋(-2) 2＋42＋62＋(-6) 2＝96
展开得：
二、填空题(共28分)
1、不超过100的自然数中，将凡是3或5的倍数的数相加，其和为＿＿。
解：(3×1＋3×2＋……3×33)＋(5×1＋5×2＋……5×20)－(15×1＋15×2＋……15×6)＝1683＋1050－315＝2418
2、 x＝＿＿＿。
解：分子有理化得：
∵x≠0，
∴
两边平方化简得：
再平方化简得：
3、若实数x、y满足 则x＋y＝＿＿。
解法1：假设x＋y＝a，则y＝a－x
解法2：易知
化简得：
4、已知锐角三角形ABC的三个内角A、B、C满足：A＞B＞C，用a表示A－B，B－C以及90°－A中的最小者，则a的最大值为＿＿＿。
解：
三、解答题(第1题20分，第2、3题各25分)
1、a、b、c为实数，ac＜0，且 ，证明：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有大于 而小于1的根。
解：设
∴
∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有大于 而小于1的根.
2、锐角ΔABC中，AB＞AC，CD、BE分别是AB、AC边上的高，DE 与BC的延长线于交于T，过D作BC的垂线交BE于F，过E作BC的垂线交CD于G，证明：F、G、T三点共线。
证法1：设过D、E的垂线分别交BC于M、N，在Rt△BEC 与Rt△BDC中，由射影定理得：
CE2＝CN•CB，BD2＝BM•BC
∴
又Rt△CNG ∽Rt△DCB，Rt△BMF ∽Rt△BEC，
∴
∴
在Rt△BEC 与Rt△BDC中，由面积关系得：BE•CE＝EN•BC，BD•CD＝DM•BC
∴
由(1)(2)得：
证法2：设CD、BE相交于点H，则H为△ABC的垂心，记DF、EG、AH与BC的交点分别为M、N、R
∵DM‖AR‖EN
∴
由合比定理得：
证法3：在△ABC中，直线DET分别交BC、CA、AB于T、E、D，由梅涅劳斯定理得：
设CD、BE相交于点H，则H为△ABC的垂心，AH⊥BC
∵DF⊥BC、EG⊥BC
∴AH ‖DF ‖EG
∴
由梅涅劳斯定理的逆定理得：F、G、T三点共线.
证法4：连结FT交EN于G’，易知
为了证明F、G、T三点共线，只需证明 即可
∵
又
∴
∵CD⊥AB、BE⊥CA，∴B、D、E、C四点共圆
∴∠ABE＝∠ACD (2)
又 (3)
将(2) (3)代入（1）得： ，故F、G、T三点共线.
3、设a、b、c为正整数，且a2＋b3＝c4，求c的最小值。
解：显然c＞1.由题设得：(c2-a)(c2+a)=b3
若取
由大到小考察b，使 为完全平方数，易知当b＝8时，c2＝36，则c=6，从而a=28。下面说明c没有比6更小的正整数解，列表如下：
c c4 x3(x3<c4) c4-x3
2 16 1,8 17,8
3 81 1,8,27,64 80,73,54,17
4 256 1,8,27,64,125,216 255,248,229,192,131,40
5 625 1,8,27,64,125,216,343,512 624,617,598,561,500,409,282,113
显然，表中c4-x3的值均不是完全平方数。故c的最小值为6
参考答案：一、1、D 原式=
2、C ∵52+142=221=102+112 ∠A、 ∠C都是直角
3、D
4、D 5、C 6、A
二、1、2418 2、 3、x＋y＝33＋43＋53＋63＝432 4、15°
三、1、略 2、略 3、c的最小值为6。 23758
小学生运动会比赛项目有哪些?
1、二人三足跑项目规则：两人组成一组(男女各一人)，赛前每单位两位运动员各一条腿用两条带子捆-绑在一起(捆在踝关节部位和小腿靠近膝关节部位，捆牢)。站立式起跑，鸣起跑信号后，两人同时起跑，以两人躯干到达终点线后沿垂直面，方为到达终点。按比赛时间少者名次列前。2、螃蟹背西瓜队员组成：4人(二男二女)比赛规则：4名队员同时站于起跑线后，共同用背部夹住球前行，途中背部离球，用其他部位碰球，或球掉落，皆为犯规，须在犯规地停止前进直至重新调整好始得继续比赛;在规定距离内，用时少者胜出。3、抛绣球（男女各一名）比赛规则：接球者站于距抛球者6米之外的圆圈(直径0.5米)内用篓子接球；接、抛球者压或超过边界抛出或接住的球，不得计入成绩;接球者只能用篓接球，否则接住的球亦不得记入成绩；抛球者共抛出20个球，接球者篓内球数多者为胜;如有成绩相同者，进行复赛，直至决出胜负。4、蹲跳接力（每队8人，4男4女）出发时的姿式：运动员应面向跑道，背靠背挽住手臂蹲在起点线。规则：听到发令后，第一组由起点向终点线蹲跳；两人都跳过终点线后，再跳回到起点线，然后第二组进行，依次类推；比赛途中，两人挽臂不可分开，如分开，则必须挽好后才能继续比赛。计时与名次：以最后一组返回起点计时。用时少者胜出。5、袋鼠跳规则：分成6组，每组6个参与，每组中的成员站在编织袋里，站在裁判指定的起点，成员则站在另一裁判指定的位置等待另2位成员的到来，从起点绕轮胎跳S型到达成员处将编织袋脱掉，穿起来快速的按S型跳回原点。
