设布朗运动
以及二次可导函数
以下等式成立:
其主要可通过对多项式环到形式幂级数的拓展,例如:
第二引理设布朗运动
以及二次可导函数
以下等式成立:
第三引理定义伊藤过程 又称扩散过程
有以下特性:
泊松过程我们也可以定义非连续随机过程的函数。
定义跳跃强度h,根据跳跃的泊松过程模型,在区间
上出现一次跳跃的概率是
加上
的高阶无穷小量。h可以是常数、显含时间的确定性函数,或者是随机过程。在区间[0,t]上没有跳跃的概率称为生存概率
其变化是:
因此生存概率为:
定义非连续随机过程S(t),并把
记为从左侧到达''t''时''S''的值,记
是一次跳跃导致S(t)的非无穷小变化。有:
是跳跃幅度''z''的[[概率分布]],跳跃幅度的期望值是:
定义补偿过程和[[鞅]]
因此跳跃的非无穷小变化,也就是随机过程的跳跃部分可以写为
因此如果随机过程S同时包含漂移、扩散、跳跃三部分,可以写为:
考虑其函数
S(t)跳跃
的幅度,会导致g(t)跳跃
幅度。
伊藤引理是研究随机过程和解随机微分方程的重要特性,在金融数学里有广泛的应用。例如布莱克-斯科尔斯模型