一个正整数的
阶乘
（英语：factorial
）是所有小于及等于该数的正整数的积，并且有0的阶乘为1。自然数n的阶乘写作。1808年，基斯顿·卡曼引进这个表示法。亦即。阶乘亦可以递归方式定义：。阶乘亦可定义于整个实数（负整数除外），其与伽玛函数的关系为：
的可质因子分解为，如。计算计算时，当n不太大时，普通的科学计算机都可以计算，能够处理不超过数值的计算机可以计算至。
当n很大时，可以用斯特林公式估计：
更精确的估计是：
其中定义扩展阶乘的定义可推广到复数，其与伽玛函数的关系为：
伽玛函数满足。递进与递降阶乘递进阶乘：
递降阶乘：双阶表示双阶乘，其定义为：广义的双阶乘
无视上述定义的因为即使值的N，双阶乘为奇数可扩展到最实数和复数z的注意到，当z是一个正的奇数则：定义为所有复数除负偶数。
使用它的定义，半径为R的n维超球其体积可表示为：多重阶乘被称为n的k重阶乘，定义为：广义的多重阶乘
能将
多重阶乘
推广到复数（甚至是四元数）：hyper阶乘hyper阶乘（hyperfactorial有时译作
过度阶乘
）写作，其定义为：hyper阶乘和阶乘差不多，但产生更大的数。hyper阶乘的增长速度却并非跟一般阶乘在大小上相差很远。前几项的hyper阶乘为：超级阶乘1995年，尼尔·斯洛恩和西蒙·普劳夫定义了超级阶乘（superfactorial）为首n个阶乘的积。一般来说
自然数阶幂阶幂
也称叠幂
或者重幂
记作（感叹号！写在自然数的右上角），它的定义是将自然数1至n的数由大到小作幂指数重叠排列，数学定义如下：其中，前几项的重幂数为：第5个重幂数是一个有183231位阿拉伯数字组成的超大自然数。
二次阶幂：
相应地，m次阶幂定义如下：其中，且。
