牟合方盖

牟合方盖

一道习题涉及到“牟合方盖”：以正方体相邻的两个侧面为底做两次内切圆柱切割，然后剔除外部，剩下的内核部分，问其俯视图的形状。

有的学生想不到这个几何体的样子，我上网搜了搜图片，打印出来，让学生一看马上就明白了。晚上在B站上竟然看到一个老师利用火腿肠制作出了牟合方盖的实物模型。一步一步，人人都可以学会。有了模型后，三视图就轻而易举地画出来。

牟合方盖是什么？



牟合方盖，是有我国数学史上的牛顿之称的刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积的方法，类似于现在的微元法。由于其采用的模型像一个牟合的方形盒子，故称为牟合方盖。

牟合方盖指的是什么?

牟合方盖就是当一个正立方体用圆规从纵横两侧面作内切圆柱体时，两圆柱体的公共部分。刘徽在他的注中对“牟合方盖”有以下的描述：“取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸。规之为圆囷，径二寸，高二寸。又复横规之，则其形有似牟合方盖矣。八棋皆似阳马，圆然也。按合盖者，方率也。丸其中，即圆率也。”

“牟合方盖”的提出，充分体现了古人丰富的想象能力，以及为解决问题建立模型的智慧。刘徽是1700多年前的人，以千年前的社会知识水平，就在思考这种问题，简直令人叹为观止，这种智慧的光芒，震古烁今，光耀寰宇。他们对数学或者哲学问题的执着思考与纯粹探索的精神，是现代人身上及其缺乏的，也是现行教育缺失的一个重要方面。

牟合方盖指的是什么

牟合方盖是计算球体体积的方法。牟合方盖就是当一个正立方体用圆规从纵横两侧面作内切圆柱体时，两圆柱体的公共部分。就是指由两个同样大小但轴心互相垂直的圆柱体相交而成的立体。是由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积的方法。牟合方盖的由来我国著名的数学典书籍《九章算术》中记载了求已知体积的球体直径的方法，称之为“开立圆术”，“立圆”即为球体。所谓“开立圆术”，书中载曰：“置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即丸径。”意思是说球体的半径等于九分之十六乘以体积再开立方，与此同时，也就得出了球的体积公式：十六分之九乘以半径的三次方。当然，我们一眼就可以看出这个公式是错误的。可是我们应该知道任何一个数学公式，无论看起来多么简单，都是一代代数学家不多努力而得到的劳动成果。既然我们都看出了错误，更别提那些数学家们了。其中，魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时便发现了其中的错误。刘徽发现如果取兀等于3，所求球的体积则会比实际少；如果按兀等于4来计算的话，球的体积又会比实际的要多。二者之间虽有一定差异，但也可以互相通补。如果直接以十六分之九的比率来计算，误差则要大了许多。经过不断的钻研，刘徽创造了一个独特的立体图形，并希望通过这个图形求出球体的体积公式。由于这个图形上下像两把对称的伞，总体又像一个牟合的方形盒子，故称为牟合方盖。据刘徽所作的《九章算术注》记载，刘徽构造了一个每个横切面都是正方形的立体图形，然后再构造一个与横切面在同一高度的圆形，总的来说，就是两个相同的圆柱体垂直相交得到的几何图形，刘徽将这个图形命名为“牟合方盖”。当时刘徽已经推算出圆周率为3.1416，他也可以通过圆周率得出圆及它的外接正方形的面积比为兀：4，他希望通过类比推理证实证实《九章算术》中公式是错误的，并由此求出球体的体积公式。刘徽通过计算证实了《九章算术》的错误，至于怎么得出的就不详细说明了，毕竟咱聊的是历史而非数学。与此同时，刘徽还希望通过“牟合方盖”求出球的体积，因为“牟合方盖”的体积跟其内接球体体积有极大的相关性。可惜，刘徽一生都没有解决这个问题，直到200年后这个问题才被彻底解决。解决此问题的人便是南北朝时期杰出的数学家袓冲之及他的儿子祖暅，他们沿用了刘徽的思想，将原来的“牟合方盖”分为完全相同的八份，取八分之一进行研究。这个思想与著名的迪卡尔坐标系极为类似，这也验证了一个重要结论：人类文明发展的总体趋势都是朝着同一方向发展。

什么是牟合方盖？

　　两圆柱垂直相交的公共部分叫做 “牟合方盖”,如下图: 　　“牟合方盖”是当一正立方体用圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时，两圆柱体的公共部分。　　刘徽在他的注中对“牟合方盖”有以下的描述：“取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸。规之为圆囷，径二寸，高二寸。又复横规之，则其形有似牟合方盖矣。八棋皆似阳马，圆然也。按合盖者，方率也。丸其中，即圆率也。”