设E为一个完备的有限维赋范向量空间（即一个巴拿赫空间），f为一个取值在E上的函数：
其中U为E中的一个开集，I是 中的一个区间。考虑以下的一阶非线性微分方程：如果f关于t连续，并在U中满足利普希茨条件，也就是说：那么对于任一给定的初始条件：其中 ,微分方程（1）存在一个解 (J,x(t))，其中 是一个包含 的区间，x(t) 是一个从 J 射到 U 的函数，满足初始条件和微分方程。局部唯一性：在包含点 的足够小的J区间上，微分方程（1）的解是唯一的（或者说，方程所有的解在足够小的区间上都是重叠的）。
这个定理有点像物理学中的决定论思想：当我们知道了一个系统的特性（微分方程）和在某一时刻系统的情况（ ）时，下一刻的情况是唯一确定的。验证推导
一个简洁的证明思路为构造一个总是满足初始条件的函数递归序列，使得，这样，如果这个序列有一个收敛点 y ，那么y为函数 的不动点，这时就有，于是我们构造出了一个解y。为此，我们从常数函数开始。令这样构造出来的函数列 中的每个函数都满足初始条件。并且由于 f 在 U 中满足利普希茨条件，当区间足够小的时候，成为一个收缩映射。根据完备空间的不动点存在定理，存在关于\Phi的稳定不动点，于是可知微分方程的解存在。
由于收缩映射的局部稳定不动点只有一个，因此在足够小的区间内解是唯一的。
最大解定理局部的柯西-利普希茨定理并没有说明在较大区域上解的情况。事实上，对于微分方程（1）的任意解(J,x(t))、 ，定义一个序关系：小于 当且仅当，并且 在J上的值与x(t)一样。在这个定义之下，柯西-利普希茨定理断言，微分方程的最大解是唯一存在的。
证明思路
解的唯一性：
假设有两个不同的最大解，那么由局部柯西-利普希茨定理可以证明其重叠部分的值相同，将两者不同的部分分别延伸在重叠部分上，则会得到一个更“大”的解（只需验证它满足微分方程），矛盾。因此解唯一。解的存在性：
证明需要用到佐恩引理，构造所有解的并集。定理推广扩展至高阶常微分方程
对于一元的高阶常微分方程
只需构造向量 和相应的映射，就可以使得（2）变为。这时的初始条件为，即扩展至偏微分方程
对于偏微分方程，有柯西-利普希茨定理的扩展形式：柯西-克瓦列夫斯基定理，保证了偏微分方程的解的存在性和唯一性。
