此图取自洛伦兹1961年的打印结果
1961年冬季的一天，为了考察一条更长的序列，洛伦兹走了一条捷径。他在进行天气模式计算时没有从头开始运行，而是从中途开始。作为计算的初值，他直接输入了上次运算的输出结果，然后他穿过大厅下楼，清净的去喝一杯咖啡。一个小时之后他回来时，看到了出乎意料的事。从几乎相同茶法点开始，洛伦兹看到他的计算机产生的天气模式差别愈来愈大，终至毫无相似之处。就是这件事播下了一门新科学的种子。定义考虑两个系统
设其初始值微小误差为
经过一次迭代后有
其中
第二次迭代得到
········
经过第n次迭代得
可见，两个系统对初始扰动的敏感度由导数在x0处的值决定，它与初始值x0有关。映射整体对初值敏感性需对全部初始条件平均，要进行n次迭代：
每次迭代平均分离值为
两个系统如果初始存在微小的差异，随着时间（或迭代次数）产生分离，分离程度常用李雅普诺夫（Lyapunov）指数来度量，它为几何平均值的对数式中xn为第n次迭代值。令n趋于无穷，得到李雅普诺夫指数的计算公式：应用
利用李雅普诺夫指数λ，相空间内初始时刻的两点距离将随时间（迭代次数）作指数分离：
在一维映射中只有一个λ值，而在多位相空间情况下一般就有多个λ，而且沿着相空间的不同方向，λ值一般也不同。设ε0为多维相空间中两点的初始距离，经过n次迭代以后两点间的距离为：式中指数λi可正可负，当其为正时表示沿该方向扩展，为负数时表示沿该方向收缩。在经过一段时间（数次迭代）以后，两个不同李雅普诺夫指数将使相空间中原来的圆演变为椭圆。
稳定体系的相轨线相应于趋向某个平衡点，如果出现越来越远离平衡点，则系统是不稳定的。系统只要有一个正直就会出现混沌运动。
判断一个非线性体统是否存在混沌运动时，需要检查它的李雅普诺夫指数λ是否为正值。
在高维相空间中大于零的李雅普诺夫指数可能不止一个，这样体系的运动将更为复杂。人们称高维相空间中有多个正值指数的混沌为超混沌。推广到高维空间后，有指数（）的值决定的各种类型的吸引子可以归纳为：吸引子的类型维数不动点极限环二维环面三维环面奇怪吸引子（混沌）（非整数）
