勒让德符号（有时为了印刷上的方便，写成有下列定义：
如果，a便称为二次剩余；如果，则a称为二次非剩余通常把零视为一种特殊的情况。
a等于时的周期数列，又称为
勒让德数列
，有时把的数值用或代替。公式勒让德原先把他的符号定义为：欧拉在之前证明了这个表达式是，如果a是二次剩余，是如果a是二次非剩余；这个结论现在称为欧拉准则。
除了这个基本公式以外，还有许多其它的表达式，它们当中有许多都在二次互反律的证明中有所使用。
高斯证明了如果，
那么：这是他对二次互反律的第四个、第六个，以及许多后续的证明的基础。参见高斯和。
克罗内克的证明是建立了然后把p和q互换。
艾森斯坦的一个证明是从以下等式开始：把正弦函数用椭圆函数来代替，他也证明了三次和四次互反律。其它公式
斐波那契数由递推公式定义。
如果p是素数，则：例如：这个结果来自卢卡斯数列的理论，在素性测试中有所应用。性质
勒让德符号有许多有用的性质，可以用来加速计算。它们包括：
（它是一个完全积性函数。这个性质可以理解为：两个剩余或非剩余的乘积是剩余，一个剩余与一个非剩余的乘积是非剩余。）如果，则这个性质称为二次互反律的第一补充。这个性质称为二次互反律的第二补充。一般的二次互反律为：如果p和q是奇素数，则
勒让德符号是一个狄利克雷特征。计算例子
以上的性质，包括二次互反律，可以用来计算任何勒让德符号。例如：
相关函数雅可比符号是勒让德符号的一个推广，允许底数为合数，但底数仍然必须是奇数和正数。这个推广提供了计算所有勒让德符号的一个有效的方法。
一个进一步的推广是克罗内克符号，把底数的范围延伸到一切整数。
合并图册
