本原多项式

一个n次不可约多项式，如果只能整除1+Z^2^n-1

而不能整除其它1-Z^L(L<2^n-1)，则这种不可约多项式就称为本原多项式。

本原多项式的另外一种定义：系数取自GF(p)上，以GF(p^m)上的本原域元素为根的最小多项式。

因为本原多项式一定以n=p^m-1级元素为根，p^m≡1(mod n)，所以本原多项式的次数必然是m。

对于一个n次多项式，其本原多项式一般有若干个。下面将给出的一个算法，是求解在给定任意n值及一个本原多项式的情况下，其余本原多项式的求解方法。该算法的意义在于提供了同一n值情况下若干个可选的本原多项式，这样就允许在构造应用系统时有不同的选择方案。

已知一个n级本原多项式，求解其余的本原多项式按以下步骤进行。

(1) 首先确定n级本原多项式的个数λ(n),λ(n)即是n级本原多项式的个数。

(2) 求出小于2n－1且与2n－1互素的所有正整数，构成一个集合〔Si〕，并重新排序，使〔Si〕中元素从小到大排列。

(3) 排除〔Si〕中不适合的数

* 排除〔Si〕中形如2j（j为正整数）

* 排除〔Si〕中所有同宗的数。即从〔Si〕中从后到前搜索，每取一个数即做2K×Si，直到大于2n－1，然后减去2n－1，用差值在〔Si〕中向前搜索，如果有相同的数则将Si排除，否则保留。再取Si－1按同样过程做一遍，直到S0．

* 排除〔Si〕中有倍数关系的数。即从〔Si〕中从后到前搜索，每取一数即向前查询一遍，最后〔Si〕中剩下的数即为本原抽样数，其个数一定为λ(n)-1。

(4) 根据已知的一个n级本原多项式，为其设置初始状态000…01（n个），求出其M序列{Ai}（长度为2n－1）.

(5) 依次从Si中取出本原抽样数，每取出一个抽样数Si，即可求出一个本原多项式：以Si对{Ai}进行抽样，就可产生长度为2n－1的另一M序列{Si}，在{Si}中找到形如000…01（n位）的序列段{Mi}，并提取包括{Mi}为前n项的2n长度的序列：

Am+0，Am+1，…，Am+n-1，

0 0 … 1

Am+n，Am+n+1，…Am+2n-1

X X … X

欲确定的Ci可用下列方程组确定;

C1=Am+n

C2=Am+n+1+C1Am+n

C3=Am+n+2+C1Am+n+1+C2Am+n

下表为常用本原多项式：

Matlab中调用本原多项式的指令：

primpoly(m);

primpoly(m,'all');

primpoly(m,'all','nodisplay');

注意返回值是按照十进制表示的。

本原多项式