模糊数学模型的基本概念
定义 1 论域X 到[0,1] 闭区间上的任意映射μ ：X →[0,1]x →μ (x)都确定X 上的一个模糊集合A ，μ 叫做A 的隶属函数，μ (x) 叫做x 对模糊集A 的隶属度，记为：{(x,μ (x)) | x ∈X }使μ (x) =0.5 的点x 称为模糊集A 的过渡点，此点最具模糊性。显然，模糊集合A 完全由隶属函数μ 来刻画，当μ (x) {0,1} 时，A 退化为一个普通集。 常用取大“∨”和取小“∧”算子来定义Fuzzy 集之间的运算。定义2 对于论域X 上的模糊集A ，B ，其隶属函数分别为μ1(x) ，μ2(x) 。A Bi) 若对任意x ∈X ，有μ1(x) ≤μ2(x) ，则称A 包含B ，记为B ⊆A ；B Aii) 若A ⊆B 且B ⊆A ，则称A 与B 相等，记为A B 。定义3 对于论域X 上的模糊集A ，B ，i) 称Fuzzy 集C A UB ，D A IB 为A 与B 的并（union ）和交（intersection ），即C (A UB)(x) max{A(x),B(x)} A(x) ∨B(x)D (A IB(x) min{A(x),B(x)} A(x) ∧B(x)他们相应的隶属度μ (x),μ (x) 被定义为C Dμ (x) max{μ (x),μ (x)}C A Bμ (x) min{μ (x),μ (x)}D A Bii) Fuzzy 集AC 为A 的补集或余集(complement)，其隶属度μ (x) 1−μ (x)AC A
模糊数学模型的模糊矩阵的运算及其性质
定义 6 设A (a ) ，B (b ) ，i 1,2,L,m,j 1,2,L,n 都是模糊矩阵，ij m×n ij m×n定义i) 相等：A B ⇔a b ；ij ijii) 包含：A ≤B ⇔a ≤b ；ij ijiii) 并：A UB (a ∨b ) ；ij ij m×niv) 交：A IB (a ∧b )ij ij m×nv) 余：AC (1−a )ij m×n⎛ 1 0.1 ⎛0.7 0⎞ ⎞ 定义 7 设A (aik )m×s ，B (bkj )s×n ，称模糊矩阵A oB (c )ij m×n为A 与B 的合成，其中{ }cij max (aik ∧bkj ) 1≤k ≤s⎛ 1 0.7⎞⎛0.4 0.7 0 ⎞ ⎜ ⎟ 定义 8 设A (a ) ，i 1,2,L,m,j 1,2,L,n ，称AT (aT ) 为A 的转ij m×n ji n×m置矩阵，其中aT a 。ji ij(4) 模糊矩阵的λ−截矩阵定义 9 设A (a ) ，对任意的λ∈[0,1] ，ij m×ni) 令1, a ≥λ(λ) ⎧⎪ ijaij ⎨0, a λ(λ) ⎧⎪ ijaij ⎨0, a ≤λ⎪⎩ ij则称 (λ) λAλ (aij )m×n 为模糊矩阵A 的 强截矩阵。·显然，对于任意的λ∈[0,1] , λ截矩阵是布尔矩阵。⎛ 1 0.5 0.2 0 ⎞⎜ ⎟⎜0.5 1 0.1 0.3 ⎟ 性质 设A (a ) ，i 1,2,L,m,j 1,2,L,n 是模糊自反矩阵(对角线上的元ij m×n素 Irij 都为 1 的模糊矩阵)， 是n 阶单位矩阵，则I ≤R ≤R 2证：因为A (a ) 是模糊自反矩阵，即有rii 1，所以I ≤R ，又ij m×n{ }max (aik ∧akj ) 1≤k ≤n ≥rii ∧rij rij即有R ≤R 2 。
