圆锥曲线解题技巧
在《圆锥曲线》中，阿波罗尼总结了前人(柏拉图学派 的梅内赫莫斯为解决倍立方体问题而发现了圆锥曲线)的工作，尤其是欧几里得的工作，并对前人的成果进行去粗存精、归纳提炼并使之系统化的工作，在此基础上，又提出许多自己的创见。全书8篇，共487个命题，将圆锥曲线的性质网罗殆尽，以致后代学者几乎没有插足的余地达千余年。 圆锥曲线解题技巧 一、化为二次函数，求二次函数的最值 依据条件求出用一个参数表示的二次函数解析式，而自变量都有一定的变化范围，然后用配方法求出限制条件下函数的最值，就可得到问题的解。 例1：曲边梯形由曲线及直线，x=1，x=2所围成，试问通过曲线，上的哪一点作切线，能使此切线从曲边梯形上切出一个最大面积的普通梯形。 分析：先求出适合条件的一条切线方程，再求出这条切线与直线x=1，x=2的交点坐标，根据梯形面积公式列出函数关系式，再求最值。 大面积的普通梯形。 说明：如果函数解析式中含有参数，一般要根据定义域和参数的'特点分类讨论。 二、利用圆锥曲线性质求最值 有些问题先利用圆锥曲线的定义或性质给出关系式，再利用几何或代数方法求最值，可使题目中的数量关系更直观，解题方法更简洁。 例2：已知双曲线的右焦点为F，点A(9，2)。试在双曲线上求一点M，使的值最小，并求这个最小值。 分析：由条件得，与互为倒数，设d为点M到对应准线的距离，可得，把问题转化为求的最小值，点M为过A点垂直于准线的直线与双曲线的交点。 说明：利用圆锥曲线的性质求最值是一种特殊方法，在利用时技巧性较强，但是可以避繁就简，化难为易，使思路清晰，过程简捷。 三、化为一元二次方程，利用判别式求最值 如果能把圆锥曲线的最值问题转化为含有一个未知量的一元二次方程，利用，解得要求未知量的范围，然后确定其最值。 例3：直线，椭圆C：。求以椭圆C的焦点F1、F2为焦点，且与直线l有公共点M的椭圆中长轴最短的。 分析：因为直线l与所求椭圆有公共点，可以由方程组得到一个一元二次方程，再利用判别式确定所求椭圆长轴的最小值。 解：椭圆C的焦点。 说明：直线l与椭圆有公共点，可得方程组，消去一个未知数，得到一个一元二次方程，由一元二次方程有实根的条件得，构造参变量的不等式，确定的最小值，这种解法思路清晰、自然。 四、利用不等式求最值 列出最值满足的关系式，利用平均值不等式中等号成立的条件求最值。 例4：定长为3的线段AB的两个端点在抛物线上移动，M是线段AB的中点，求M到 y轴的最短距离。 说明：用不等式求最值有时要用“配凑法”，这种方法是一种技巧，要在训练过程中逐渐掌握。在使用平均值不等式求最值时要满足三个条件：①每一项都要取正值;②不等式的一边为常数;③等号能够成立。 五、利用函数的性质求最值 有些圆锥曲线的最值问题，可以先转化成函数问题，然后利用函数的单调性、有界性等性质求最值。 说明：本题把求圆锥曲线最值问题转化为求三角函数的最值问题，然后利用的有界性得出结果。 六、利用平面几何的有关知识求最值 有些圆锥曲线求最值问题可以转化为平面几何问题，借助一些平面几何知识求最值。 例6：已知椭圆，点A(4，0)是它的右焦点，B(2，2)是椭圆内一点，M是椭圆上一动点，求的最大值和最小值。 说明：有些圆锥曲线求最值问题，如果用代数方法求解比较复杂，可以考虑用几何知识求解，其中“三角形两边之和大于第三边”是求最值常用的定理。 圆锥曲线最值问题从方程与曲线着手，反映了数学问题中的数与形的密切关系，这类问题涉及的数学知识较多，解题方法灵活。因此，求圆锥曲线最值问题能促进数学知识的融会贯通，也能使数学能力得到全面训练。
圆锥曲线的解题方法
导语：定义中提到的定点，称为圆锥曲线的焦点；定直线称为圆锥曲线的准线；固定的常数（即圆锥曲线上一点到焦点与准线的距离比值）称为圆锥曲线的离心率；焦点到准线的距离称为焦准距；焦点到曲线上一点的线段称为焦半径。过焦点、平行于准线的直线与圆锥曲线相交于两点，此两点间的线段称为圆锥曲线的通径，物理学中又称为正焦弦。 第一、圆锥曲线的解题方法： 一、求圆锥曲线方程 （1）轨迹法：设点建立方程，化简证明求得。 例题：动点P（x，y）到定点A（3，0）的距离比它到定直线x=—5的距离少2。求动点P的轨迹方程。 解析：依题意可知，{C}，由题设知{C}，{C}{C}。 （2）定义法：根据圆锥曲线的定义确定曲线的形状。 上述例题同样可以由定义法求出曲线方程：作直线x=—3，则点P到定点A与到定直线x=—3的距离相等，所以点P的轨迹是以A为焦点，以x=—3为准线的抛物线。 （3）待定系数法：通过题设条件构造关系式，待定参数即可。 例1：已知点（—2，3）与抛物线{C}的焦点的距离是5，则P=_____。 解析：抛物线{C}的焦点为{C}，由两点间距离公式解得P=4。 例2：设椭圆{C}的右焦点与抛物线{C}的焦点相同，离心率为{C}，则椭圆的方程为_____。 解析：抛物线{C}的焦点坐标为（2，0），所以椭圆焦半径为2，故离心率{C}得m=4，而{C}，所以椭圆方程为{C}。 二、圆锥曲线最值问题 （1）化为求二次函数的最值 根据已知条件求出一个参数表示的二次函数解析式，用配方法求出在一定范围自变量下函数的最值。 例题：曲边梯形由曲线{C}及直线x=1，x=2所围成，那么通过曲线上哪一点作切线，能使此切线从曲边梯形上切出一个最大面积的普通梯形。 解析：设切点{C}，求出切线方程{C}，再求出这条切线与直线x=1，x=2的交点纵坐标，根据梯形面积公式列出函数关系式：梯形面积={C}，从而得出结论。 （2）利用圆锥曲线性质求最值 先利用圆锥曲线的定义性质列出关系式，再用几何或代数方法求最值。 例题：已知双曲线{C}的右焦点为F，有一点A（9，2）。试在双曲线上求一点M，使{C}的值最小。 解析：设点M到对应准线的距离为d，由双曲线的第二定义有d={C}，{C}》点A到点M对应准线的距离{C}（点A在对应准线上的投影为点A’）。所以当且仅当点M为AA’与双曲线右支的交点时，{C}的值最小。 （3）化为一元二次方程，用根的判别式求最值 将最值问题转化为含有一个未知量的一元二次方程，利用根的判别式求未知量范围求解。 例题：直线y=x+9，椭圆C焦点为F1（—3，0），F2（3，0），求与直线有公共点M的椭圆中最短长轴。 解析：直线与椭圆有公共点，根据题意可联立方程组{C} {C}， 由条件得{C}，所以椭圆的最短长轴为{C}。 （4）利用不等式求最值 列出最值满足的关系式，利用平均值不等式中等号成立的条件求最值。在使用平均值不等式求最值时要满足三个条件：①每一项都要取正值；②不等式的一边为常数；③等号能够成立。 例题：定长为3的线段AB的两个端点在抛物线{C}上移动，M为AB的中点，则M到y轴的最短距离。 解析：设点A{C}，点B{C}，{C}， {C}，当且仅当{C}时取得最小值。所以{C}，点M到y轴距离最小值为{C}。 三、直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判 别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。 例题1：过点（2，4）作直线与抛物线{C}只有一个公共点，这样的直线有____条。 解析：由于点（2，4）在抛物线上，其次只有一个公共点，包括直线平行于抛物线的对称轴，和抛物线交于一点的直线，故有2条。 例题2：直线y=kx+1与椭圆{C}恒有公共点，则m的取值范围是_____。 解析：直线与椭圆恒有公共点，所以联立方程{C}恒成立，即{C}恒成立，所以{C}且{C}。 四、求参数的取值范围 与圆锥曲线有关的参数范围问题常用两种解法： （1）不等式（组）求解法：利用题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围。 （2）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域求参数的变化范围。 例题：已知点A（2，0）和抛物线{C}上两点B、C，使得AB⊥BC，求点C纵坐标的取值范围。 解析：由于B、C是抛物线上两个相关的点，所以可通过B点纵坐标的'范围建立关于C点纵坐标的不等式求解。设点B{C}，点C{C}，{C}，{C}， {C}，{C}，{C}，{C}，{C}。 解得{C}或{C}。 五、动点轨迹方程 （1）直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系{C}； 如：已知动点P到定点F（1，0）和直线x=3的距离之和等于4，求P点的轨迹方程。根据题意直接列式：{C}。 （2）待定系数法：已知所有曲线的类型，根据条件设出所求曲线的方程，再由已知条件确定其待定系数。 如：线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0）（m>0），端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，求此抛物线的方程。 （3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程。 （4）代入转移法：动点{C}依赖于另一动点{C}的变化为变化，并且{C}又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示{C}，再将{C}代入已知曲线求得轨迹方程。 （5）参数法：当动点{C}坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x，y均用一中间变量（参数）表示，得到参数方程，再消去参数得轨迹方程。 六、定点定值问题 在几何问题中，有些几何量和参数无关，从而构成定值问题，解决这类问题长用取参数和特殊值来确定定值的多少，或将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的。这类问题通常有两种出来方法： （1）从特殊入手，求含变量定点定值，再证明这个定点定值与变量无关。 （2）直接推理、计算，并在计算的过程中消去变量，从而得到定点定值。 例题：过抛物线{C}的焦点F作直线l交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p，q，则{C}的值必等于_____。 解析： ①令直线与x轴垂直，则直线l：{C} {C}，{C}。 ②设{C}，{C}且PM，QN分别垂直于准线于M，N。 {C}，{C}，{C}的焦点{C}，准线{C}，所以直线l：{C}，又因为直线l与抛物线相交，故联立方程组得：{C}，{C}，{C} {C}，{C}，{C}。 第二、圆锥曲线的七种题型归纳： （1）中点弦问题 （2）焦点三角形问题 （3）直线与圆锥曲线位置关系问题 （4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题 （5）求曲线的方程问题 （6）存在两点关于直线对称问题 （7）两线段垂直问题 第三、 圆锥曲线的八大解题方法： 1、定义法 2、韦达定理法 3、设而不求点差法 4、弦长公式法 5、数形结合法 6、参数法（点参数、K参数、角参数） 7、代入法中的顺序 8、充分利用曲线系方程法
求解高三数学圆锥曲线题
令A（x1，y1），B（x2，y2），圆心记作N。将A、B两点坐标代入抛物线方程，得y1^2-y2^2=m（x1-x2），即（y1+y2）（y1-y2）=m（x1-x2），AB所在直线斜率为2√2，即（y1-y2）/（x1-x2）=2√2，则y1+y2=√2m/4。由中点坐标可知，N的纵坐标为（y1+y2）/2，即√2m/8。而M为圆N与准线切点，则M的纵坐标与N纵坐标相同。则M的坐标为（-m/4，√2m/8），焦点F的坐标（m/4，0），而|FM|=√2，根据两点距离公式解得m=8/3。解得抛物线方程为y^2=8x/3，F坐标为（2/3，0），则AB所在直线方程（点斜式可解）为y=2√2（x-2/3），将抛物线与直线方程联立解得A（1/3，-2√2/3），B（4/3，4√2/3）。则|AB|=3
一道关于圆锥曲线的数学题
1、椭圆方程为x²／2＋y²＝1
2、设P（x1,y1）Q(x2,y2),设直线存在，PQ垂直MF，MF的方程为x+y-1=0,斜率=-1。PQ斜率=1.
PQ方程设为y=x+m.带入椭圆方程得3x²+4mx+2m²－2=0
x1+x2=-4m／3,x1x2=(2m²-2)／3..............①
PF垂直MQ，PF斜率=y1／（x1-1）.MQ斜率=（y2-1）／x2.二者相乘=-1，
即y1(y2-1)／x2(x1-1)=-1,
(x1+m)(x2+m-1)=-x2(x1-1)即2x1x2+x1(m-1)+(m-1)x2+m(m-1)=0
即2x1x2+(x1+x2)(m-1)+m(m-1)=0
①式带入得3m²+m-4=0,m=1或-4／3。m=1舍去，所求直线方程为y=x-4／3.存在。
